Задачи к § 3. Прямоугольные треугольники

254. Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника.

255. В равнобедренном треугольнике CDE с основанием СЕ проведена высота CF. Найдите ∠ECF, если ∠D = 54°.

256. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см. Найдите гипотенузу треугольника.

257. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С внешний угол при вершине А равен 120°, АС + АВ = 18 см. Найдите АС и АВ.

258. Из середины D стороны ВС равностороннего треугольника АВС проведён перпендикуляр DM к прямой АС. Найдите AM, если АВ= 12 см.

259. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведённая к боковой стороне, равна 9 см. Найдите основание треугольника.

260. Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равна 7,6 см, а боковая сторона треугольника равна 15,2 см. Найдите углы этого треугольника.

261. Докажите, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведённые из вершин основания, равны.

262. В треугольниках АВС и A₁B₁C₁ углы А и А₁ — прямые, BD и B₁D₁ — биссектрисы. Докажите, что АВС = А₁В₁С₁, если ∠B = ∠B₁ и ВD = В₁D₁.

263. Высоты, проведённые к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольника АВС, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если ∠BMC = 140°.

264. Высоты AA₁ и ВВ₁ треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите ∠AMB, если ∠A = 55°, ∠B = 67°.

265. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведены биссектриса AF и высота АН. Найдите углы треугольника AHF, если ∠B= 112°.

266. На сторонах угла О отмечены точки А и В так, что ОА = ОВ. Через эти точки проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла и пересекающиеся в точке С. Докажите, что луч ОС — биссектриса угла О.

267. Докажите, что два остроугольных треугольника равны, если сторона и высоты, проведённые из концов этой стороны, одного треугольника соответственно равны стороне и высотам, проведённым из концов этой стороны, другого треугольника.

268. Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу.

269. Докажите, что АВС ∠ А₁В₁С₁, если ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁ и ВН = B₁H₁, где ВН и В₁H₁ — высоты АВС и A₁B₁C₁.

270. Внутри угла дана точка А. Постройте прямую, проходящую через точку А и отсекающую на сторонах угла равные отрезки.

Ответы к задачам § 3. Прямоугольные треугольники

254. 45°, 45° и 90°.

255. 27°.

256. 17,6 см.

257. АС = 6 см, АВ= 12 см.

258. 9 см.

259. 18 см.

260. 30°, 30° и 120°.

261. Указание. Воспользоваться первой теоремой п. 36.

262. Указание. Воспользоваться признаками равенства прямоугольных треугольников. 263. 70°, 70° и 40°.

264. 122°. 265. 90°, 39° и 51°.

267. Указание. Сначала доказать, что углы, прилежащие к равным сторонам данных треугольников, равны.

269. Указание. Воспользоваться задачей 268.

270. Указание. Сначала провести биссектрису угла и воспользоваться задачей 133.